>>> Перейти на полный размер сайта >>>

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

16. Квадратный корень из произведения и дроби

Сравним значения выражений :

Мы видим, что . Аналогичным свойством обладает корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.

Теорема 1

Если а ≥ 0 и b ≥ 0, то .

Каждое из выражений имеет смысл, так как а ≥ 0 и b ≥ 0. Покажем, что выполняются два условия:

Так как выражения и принимают лишь неотрицательные значения, то произведение неотрицательно.

Используя свойство степени произведения, получим

Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях а и b верно равенство

Доказанная теорема распространяется на случай, когда число множителей под знаком корня больше двух.

Например, если а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0, то . Действительно,

Таким образом, арифметический квадратный корень обладает следующим свойством:

корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из дроби.

Теорема 2

Если а ≥ 0 и b ≥ 0, то = .

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Проведите доказательство самостоятельно.

Итак, справедливо ещё одно свойство арифметического квадратного корня:

корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

Пример 1. Найдём значение выражения .

Решение: Воспользуемся теоремой о корне из произведения:

Пример 2. Вычислим значение выражения .

Решение: Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа, и применим теорему о корне из произведения:

Пример 3. Найдём значение выражения .

Решение: По теореме о корне из дроби имеем

Поменяв в тождествах

местами их ле-вые и правые части, получим

Этими тождествами пользуются при умножении и делении арифметических квадратных корней.

Пример 4. Найдём значение произведения .

Решение: Имеем .

Пример 5. Найдём значение частного .

Решение: Имеем

Упражнения

  1. Найдите значение выражения:

  2. Вычислите значение корня:

  3. Найдите значение корня:

  4. Найдите значение выражения:

  5. Найдите значение корня:

  6. Вычислите значение корня:

  7. Найдите значение выражения:

  8. Вычислите значение выражения:

  9. Извлеките корень:

  10. Представьте выражение в виде произведения корней:

  11. Представьте выражение в виде частного корней:

  12. Докажите, что при любом неотрицательном а:

  13. Укажите натуральные значения п, при которых является натуральным числом.
  14. Используя приближённое равенство , найдите приближённое значение выражения:

  15. Используя свойства квадратного корня, найдите с помощью таблицы квадратов, помещённой на форзаце учебника, значение выражения:

  16. Найдите значение выражения:

  17. Найдите значение произведения:

  18. Найдите значение частного:

  19. Найдите значение выражения:

  20. Значение выражения с помощью калькулятора можно вычислить двумя способами: найти значения и и результаты перемножить или заменить произведение выражением и затем найти его значение. Каким из этих способов удобнее пользоваться? Выполните вычисления.
  21. Найдите значение выражения , если х = -4; -3; 0; 9; 20. При каких значениях х выражение имеет смысл?
  22. Представьте в виде квадрата некоторого выражения:

  23. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной а см, высота параллелепипеда равна b см, а его объём равен V см3. Выразите переменную а через b и V.
  24. Решите уравнение:

Рейтинг@Mail.ru