Читать онлайн
учебники на ANSEVIK.RU

>>> Перейти на полную версию сайта >>>

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

32. Пересечение и объединение множеств

Пусть А — множество натуральных делителей числа 12, а В — множество натуральных делителей числа 18. Зададим множества А и В путём перечисления элементов:

А = { 1, 2, 3, 4, 6, 12},
В = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Обозначим буквой С множество общих делителей чисел 12 и 18, т. е. общих элементов множеств А и В. Получим, что

С = {1, 2, 3, 6}.

Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В, и пишут: А ∩ В = С.

Вообще

пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Соотношение между множествами А, В и С можно проиллюстрировать с помощью специальных схем, называемых кругами Эйлера. На рисунке 25 множества А и В избражены кругами. Фигура, образовавшаяся при пересечении кругов, закрашенная на рисунке, изображает множество С.

Рис. 25

Заметим, что если некоторые множества X и У не имеют общих элементов, то говорят, что пересечением этих множеств является пустое множество, которое обозначают знаком ∅, и используют такую запись: X ∩ Y = ∅.

Введём теперь понятие объединения множеств. Вернёмся к рассмотренному примеру множеств натуральных делителей чисел 12 и 18. Пусть D — множество, которому принадлежат все элементы множества А и все элементы множества В. Для того чтобы задать множество D путём перечисления элементов, выпишем сначала все элементы множества А, а затем те элементы множества В, которые не принадлежат множеству А. Получим

D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18}.

Говорят, что множество D является объединением множеств А и В, и пишут: D = A U В.

Вообще

объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащим хотя бы одному из этих множеств.

На рисунке 26 с помощью кругов Эйлера показано соотношение между множествами А, В и D. Фигура, закрашенная на рисунке, изображает множество D.

Рис. 26

Упражнения

  1. Известно, что X — множество простых чисел, не превосходящих 20, a Y — множество двузначных чисел, не превосходящих 20. Задайте множества X и Y перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение.
  2. Задайте путём перечисления элементов множество А двузначных чисел, являющихся квадратами натуральных чисел, и множество В двузначных чисел, кратных 16. Найдите пересечение и объединение этих множеств.
  3. Найдите пересечение и объединение:

    а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243 и 6321;
    б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»;
    в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел;
    г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19.

  4. Пусть А — множество квадратов натуральных чисел, В — множество кубов натуральных чисел. Принадлежит ли:

    а) пересечению множеств А и В число 1; 4; 64;
    б) объединению множеств А и В число 16; 27; 64?

  5. На рисунке 27 изображены отрезки АВ и CD. Какая фигура является:

    Рис. 27

    а) пересечением этих отрезков;
    б) объединением этих отрезков?

  6. Множеством каких фигур является пересечение:

    а) множества прямоугольников и множества ромбов;
    б) множества равнобедренных треугольников и множества прямоугольных треугольников?

  7. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством N натуральных чисел, множеством Z целых чисел, множеством Q рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение:

    а) множества натуральных и множества целых чисел;
    б) множества целых и множества рациональных чисел;
    в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.

  8. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3. Какое множество изображает общая часть этих кругов?
  9. (Для работы в парах.) Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами А и В и найдите пересечение и объединение этих множеств, если:

    а) А — множество целых чисел, кратных 3, В — множество целых чисел, кратных 5;
    б) А — множество целых чисел, кратных 3, В — множество целых чисел, кратных 15.

    1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств А и В.
    3) Исправьте ошибки, если они допущены.

  10. Найдите пересечение и объединение множеств X и У, если:

    а) X — множество простых чисел, У — множество составных чисел;
    б) X — множество целых чисел, кратных 5, У — множество целых чисел, кратных 15.

  11. Термометр показывает температуру с точностью до 1 °С. Измеряя им температуру воздуха, нашли, что она равна 16 °С. С какой относительной точностью выполнено измерение?
  12. Решите уравнение

  13. В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий удалось получить гречихи на 2 ц с гектара больше, чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи, а во втором только 160 ц, хотя во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше. Какова была урожайность гречихи в каждом хозяйстве?

Рейтинг@Mail.ru