Читать онлайн
учебники на ANSEVIK.RU

>>> Перейти на полную версию сайта >>>

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

Дополнительные упражнения к главе IV

К параграфу 10

  1. Докажите неравенство:

  2. Докажите неравенство:

  3. Верно ли неравенство:

  1. Докажите неравенство:

  2. а) Докажите, что при а > 3 значение выражения

    отрицательно.

    б) Докажите, что при у > 1 значение выражения

    положительно.

  3. В каком случае катер затратит больше времени: если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он пройдёт 40 км в стоячей воде?
  4. (Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?

    1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.
    2) Введите обозначения: х км/ч — скорость лодки в стоячей воде; у км/ч и z км/ч — скорости течения первой и второй рек; s км — расстояние, на которое отплывала лодка.
    3) Запишите формулы для вычисления времени t1 ч и t2 ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.
    4) Найдите разность t1 - t2 и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.
    5) Подтвердилось ли ваше предположение?

  5. Велосипедисты Смирнов и Антонов отправились одновременно из посёлка в город и, пробыв в городе одинаковое время, вернулись в посёлок. Смирнов в город и обратно ехал со скоростью 15 км/ч, а Антонов в город ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем Смирнов, а возвращался со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем Смирнов. Кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше?
  6. Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.
  7. Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.
  8. Используя выделение из трёхчлена квадрата двучлена, докажите неравенство:

  9. Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство:

  10. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при а > 0, b > 0, с > 0 верно неравенство:

  11. Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если а — наибольшее число в пропорции - = где а, b, с, d — положительные числа, то верно неравенство а + d > b + с.
  12. Известно, что 12 ≤ у ≤ 16. Оцените значение выражения:

  13. Оцените значение выражения:

  14. Оцените длину средней линии треугольника ABC, которая параллельна стороне АВ, если 10,4 < АВ < 10,5.
  15. Оцените длину средней линии трапеции с основаниями а см и с см, если 3,4 ≤ а ≤ 3,5 и 6,2 ≤ с ≤ 6,3.

К параграфу 11

  1. Принадлежит ли промежутку [8; 41) число 40,9? Можно ли указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку?

    Существует ли в промежутке [8; 41) наибольшее число? наименьшее число?

  2. Принадлежит ли промежутку (7; 17] число 7,01? Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку?

    Существует ли в промежутке (7; 17] наименьшее число? наибольшее число?

  3. Укажите, если это возможно, наименьшее и наибольшее числа, принадлежащие промежутку:

  4. Верно ли, что:

  5. Найдите пересечение и объединение:

    а) множества целых чисел и множества положительных чисел;
    б) множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел.

  6. Является ли число решением неравенства х < 5? Укажите какое-нибудь число, большее , удовлетворяющее этому неравенству.
  7. Является ли число решением неравенства х > 3? Укажите какое-либо число, меньшее , удовлетворяющее этому неравенству.
  8. Решите неравенство:

  9. При каких значениях а верно неравенство:

  10. Решите неравенство:

  11. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству:

  12. При каких значениях х:

    а) значение дроби больше соответствующего значения дроби ;
    б) значение дроби меньше соответствующего значения дроби ?

  13. Решите неравенство:

  14. Найдите, при каких значениях а уравнение имеет положительный корень:

  15. Найдите, при каких значениях b уравнение имеет отрицательный корень:

  16. При каких значениях т верно равенство:

  17. Найдите промежутки, в которых функция у = - 6x + 12 принимает положительные значения; отрицательные значения. Ответ проиллюстрируйте на графике.
  18. Со склада вывозят болванки: железные массой по 500 кг и медные массой по 200 кг. На грузовик, который может везти не более 4 т, погрузили 12 болванок. Сколько среди них может быть железных болванок?
  19. С турбазы в город, отстоящий на расстояние 24 км, вышел первый турист со скоростью 4 км/ч. Спустя 2 ч вслед за ним отправился второй турист. С какой скоростью должен идти второй турист, чтобы догнать первого до его прихода в город?
  20. От деревни до фермы 20 км, а от фермы до станции 40 км (рис. 48). С фермы по направлению к станции выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно из деревни на станцию через ферму по той же дороге отправился мотоциклист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию?

    Рис. 48

  21. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его периметр не превосходит 46 см. Какова длина боковой стороны треугольника, если известно, что она выражается целым числом сантиметров?
  22. Решите систему неравенств:

  23. Найдите целые решения системы неравенств:

  24. Решите двойное неравенство:

  25. а) При каких х значение выражения 2х - 4 принадлежит интервалу (- 1; 5)?
    б) При каких х значение дроби принадлежит числовому отрезку [0; 5]?
    в) При каких х значения функции у = - х + 8 принадлежат интервалу (- 1; 1)?
    г) При каких х значения функции у = - 2,5х + 6 принадлежат числовому отрезку [- 6; - 2]?
  26. Найдите положительные значения у, удовлетворяющие системе неравенств:

  27. Найдите отрицательные значения у, удовлетворяющие системе неравенств:

  28. При каких значениях а уравнение х2 - 4ах + 4а2 - 25 = 0

    имеет два корня, каждый из которых больше 2?

  29. При каких значениях b уравнение х2 - (2b - 2)х + b2 - 2b = 0

    имеет два корня, принадлежащие интервалу (-5; 5)?

  30. Если туристы будут проходить в день на 5 км больше, чем сейчас, то они пройдут за 6 дней расстояние, большее 90 км. Если же они будут проходить в день на 5 км меньше, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньшее 90 км. Сколько километров в день проходят туристы?
  31. Первую половину пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч?

Рейтинг@Mail.ru