Читать онлайн
учебники на ANSEVIK.RU

>>> Перейти на полную версию сайта >>>

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

38. Свойства степени с целым показателем

Известные вам свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).

Для каждого а ≠ 0 и любых целых m и n

аm • аn = аm + n,     (1)
аm : аn = аm - п,     (2)
m)n = аmn;     (3)

для каждых а ≠ 0, b ≠ 0 и любого целого n

b)n = аnbn,     (4)
    (5)

Эти свойства можно доказать, опираясь на определение степени с целым отрицательным показателем и свойства степени с натуральным показателем.

Докажем, например, справедливость свойства (1) (основного свойства степени) для случая, когда показатели степеней — целые отрицательные числа.
Иначе говоря, докажем, что если k и р — натуральные числа и а ≠ 0,
то а- k • а- р = а- k - р.

Имеем

Заменяя степени а- k и а- р дробями и дробь степенью а- (k + р), мы воспользовались определением степени с целым отрицательным показателем. Заменяя произведение аkар степенью ак + р, мы использовали основное свойство степени с натуральным показателем.

Из свойств степени вытекает, что действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.

Пример 1. Преобразуем произведение а-17 • а21.

Решение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. Имеем

Пример 2. Преобразуем частное b2 : b5.

Решение: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Имеем

Для степеней с натуральными и нулевым показателями мы могли применять правило деления степеней с одинаковыми основаниями в том случае, когда показатель степени делимого был не меньше показателя степени делителя. Теперь, после введения степеней с целыми показателями, это ограничение снимается: показатели степеней делимого и делителя могут быть любыми целыми числами.

Пример 3. Упростим выражение (2а3b- 5)- 2.

Решение: Сначала применим свойство (4), а затем свойство (3). Имеем

Упражнения

  1. Найдите значение выражения:

  2. Вычислите:

  3. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны.
  4. Докажите, что при любом целом n, а ≠ 0 и b ≠ 0.
  5. Вычислите:

  6. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:

  7. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение:

  8. Представьте выражение, в котором m — целое число, в виде степени с основанием 5:

  9. Вычислите:

  10. Найдите значение выражения:

  11. (Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, сократите дробь:

    1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.
    3) Исправьте ошибки, если они допущены.

  12. Представьте какими-либо тремя способами выражение х-10 в виде произведения степеней.
  13. Представьте выражение а12, где а ≠ 0, в виде степени:

    а) с основанием а4;
    б) с основанием а-6.

  14. Представьте в виде степени с основанием х частное:

  15. Упростите выражение:

  16. Найдите значение выражения:

  17. Упростите выражение и найдите его значение:

  18. Представьте степень в виде произведения:

  19. Преобразуйте в произведение:

  20. Представьте в виде степени произведения выражение:

  21. Упростите выражение:

  22. Преобразуйте выражение:

  23. Упростите выражение:

  24. Преобразуйте выражение:

  25. Известно, что х1 и х2 — корни уравнения 8х2 - 6x + n = 0 и x1-1 + x2-1 = 6. Найдите n.
  26. Решите уравнение

  27. Найдите область определения функции:

  28. Сократите дробь , зная, что b = а + с.

Рейтинг@Mail.ru