Читать онлайн
учебники на ANSEVIK.RU

>>> Перейти на полную версию сайта >>>

Учебник для 8 класса

Алгебра

       

8. Функция у = k/x и её график

Пусть площадь прямоугольника, длина которого х см, а ширина у см, равна 24 см2. Тогда зависимость у от х выражается формулой .

В этой задаче переменные х и у принимали лишь положительные значения. В дальнейшем мы будем рассматривать функции, задаваемые формулой вида у = , в которой переменные х и у могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, причём k ≠ 0. Такие функции называют обратными пропорциональностями.

Определение: Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y = , где х — независимая переменная и k — не равное нулю число.

Областью определения функции у = является множество всех чисел, отличных от нуля. Это следует из того, что выражение имеет смысл при всех х ≠ 0.

Рассмотрим свойство обратной пропорциональности. Пусть х1 и х2 — значения аргумента (x1 ≠ 0, х2 ≠ 0), а у1 и у2 — соответствующие им значения функции. Так как k ≠ 0, то у1 ≠ 0 и у2 ≠ 0.

Из формулы у = следует, что х1у1 = к и х2у2 = к, и потому верна пропорция , т. е. отношение двух произвольных значений аргумента равно обратному отношению соответствующих значений функции. С этим связано название функции — обратная пропорциональность.

В повседневной жизни мы часто встречаемся со случаями, когда зависимость между переменными является обратной пропорциональностью.

Приведём примеры.

Пример 1. Время t (ч), которое автомобиль, двигаясь со скоростью v км/ч, затрачивает на путь, равный 450 км, вычисляется по формуле t = , т. е. зависимость t от v является обратной пропорциональностью.

Пример 2. Масса m (кг) муки, которую можно купить на 85 р. по цене р р. за килограмм, вычисляется по формуле v = , т. е. зависимость т от р является обратной пропорциональностью.

Построим график функции у = . Для этого найдём значения у, соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям х:

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице (рис. 3).

Рис. 3

Выясним некоторые особенности графика функции у = . Так как число нуль не входит в область определения функции, то на графике нет точки с абсциссой 0, т. е. график не пересекает ось у. Так как ни при каком x значение у не равно нулю, то график не пересекает ось х. Положительным значениям х соответствуют положительные значения у. Чем больше положительное значение х, тем меньше соответствующее значение у. Например,

если х = 10, то у = 1,2;
если х = 100, то у = 0,12;
если х = 1000, то у = 0,012.

Значит, чем больше положительная абсцисса точки графика, тем ближе эта точка к оси абсцисс. Для достаточно больших значений х это расстояние может стать как угодно малым. Чем ближе положительная абсцисса точки графика к нулю, тем больше ордината этой точки. Например,

если х = 0,03, то у = 400;
если х= 0,0001, то у = 120 000.

График функции у = показан на рисунке 4. Он состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

Рис. 4

Одна из этих ветвей расположена в первой координатной четверти, а другая — в третьей. Такой же вид имеет график функции y = при любом k > 0.

На рисунке 5 построен график функции у = - . Он так же, как и график функции у = представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

Рис. 5

Однако в отличие от графика функции у = одна из них лежит во второй, а другая — в четвёртой координатной четверти.

График функции у = при любом k ≠ 0 имеет такой же вид, что и график функции у = - .

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.

Упражнения

  1. Функция задана формулой у = . Заполните таблицу.

  2. Обратная пропорциональность задана формулой у = . Заполните таблицу.

  3. Двигаясь со скоростью v км/ч, поезд проходит расстояние между городами А и В, равное 600 км, за t ч. Запишите формулу, выражающую зависимость: a) v от t; б) t от v.
  4. Обратная пропорциональность задана формулой у . Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 100; 1000; 0,1; 0,02. Определите, принадлежит ли графику этой функции точка А (-0,05;-200), В (-0,1; 100), С (400; 0,025), D (500; -0,02).
  5. Известно, что некоторая функция — обратная пропорциональность. Задайте её формулой, зная, что значению аргумента, равному 2, соответствует значение функции, равное 12.
  6. На рисунке 6 построен график функции, заданной формулой у = .

    Рис. 6

    Найдите по графику:

    а) значение у, соответствующее значению х, равному 2; 4; -1; -4; -5;
    б) значение х, которому соответствует значение у, равное -4; —2; 8.

  7. Постройте график функции, заданной формулой у = - . Найдите по графику:

    а) значение у, соответствующее значению х, равному 4; 2,5; 1,5; -1; -2,5;
    б) значение х, которому соответствует значение у, равное 8; -2.

  8. Постройте график функции у = и, используя его, решите уравнение:

  9. Решите графически уравнение:

  10. (Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:

    1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функции у = .
    3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.

  11. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см и b см и высотой 20 см имеет объём, равный 120 см3. Выразите формулой зависимость b от а. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график.
  12. Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку:

  13. На рисунке 7 построен график зависимости времени, затрачиваемого на путь из пункта А в пункт В, от скорости движения.

    Рис. 7

    С помощью графика ответьте на вопросы:

    а) Сколько времени потребуется на путь из А в В при скорости движения 80 км/ч? 25 км/ч? 40 км/ч?
    б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из пункта А в пункт В за 1 ч? за 4 ч? за 8 ч? за 16 ч?
    в) Каково расстояние между пунктами А и В?

  14. Определите знак числа k, зная, что график функции у = расположен:

    а) в первой и третьей координатных четвертях;
    б) во второй и четвёртой координатных четвертях.

  15. На рисунке 8 построен график одной из следующих функций:

    Рис. 8

    Укажите эту функцию.

  16. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных:

  17. (Задача-исследование.) При каких значениях а и b является тождеством равенство

    а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
    б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.
    в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

  18. Упростите выражение

Контрольные вопросы и задания

  1. Сформулируйте правила умножения и деления дробей. Сформулируйте правило возведения дроби в степень.
  2. Какая функция называется обратной пропорциональностью?
  3. В каких координатных четвертях расположен график функции у = при k > 0? при k < 0?

Рейтинг@Mail.ru