Читать онлайн учебники
на ANSEVIK.RU

>>> Перейти на мобильный размер сайта >>>

Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 206). Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Рис. 206

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Синус, косинус и тангенс угла, равного а, обозначаются символами sin α, cos α и tg α (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке 206

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим:

т. е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и А₁В₁С₁ — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и С₁ и равными острыми углами А и А₁. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Из этих равенств следует, что , т. е. sin А = sin А₁. Аналогично , т. е. cos А = cos А₁, и т. е. tg A = tg А₁.

Докажем теперь справедливость равенства

Из формул (1) и (2) получаем

По теореме Пифагора ВС² + АС² = АВ², поэтому sin² А + cos² А = 1.

Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством¹.

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°

Найдём сначала значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30° и 60°. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого ∠A = 30°, ∠B = 60° (рис. 207).

Рис. 207

Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то .

Но

С другой стороны,

Итак,

Из основного тригонометрического тождества получаем:

По формуле (4) находим:

Найдём теперь sin 45°, cos 45° и tg 45°. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 208).

Рис. 208

В этом треугольнике АС = ВС, ∠A = ∠B = 45°. По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС² = 2АС² = 2ВС², откуда AC = BC = .

Следовательно,

Составим таблицу значений sin α, cos α, tg α для углов α, равных 30°, 45°, 60°:

Задачи

591. Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС =24, АВ = 25.

592. Постройте угол α, если: а) tg α = 1/2; б) α = 3/4; в) cos α = 0,2; г) cos α = 2/3; д) sin α = 1/2; e) sin α = 0,4.

593. Найдите: a) sin α и tg α, если cos α = 1/2; 6) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; r) cos α и tg α, если sin α = 1/2.

594. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найдите их значения, если b =10 см, β = 50°.

595. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12см, α = 42°.

596. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен α. Выразите второй острый угол и катеты через с и α и найдите их значения, если с = 24 см, а α = 35°.

597. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Выразите через а и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при а = 12, b = 15.

598. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом а при основании, если: а) боковая сторона равна 6; б) основание равно а.

599. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен α.

600. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней её части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м (рис. 209)?

Рис. 209

601. Найдите углы ромба с диагоналями 2√3 и 2.

602 Стороны прямоугольника равны 3 см и √3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

603. В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50'. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ.