Читать онлайн
учебники на ANSEVIK.RU

>>> Перейти на полную версию сайта >>>

Учебник для 7—9 классов

Геометрия

       

Вопросы для повторения к главе V

1. Объясните, какая фигура называется ломаной. Что такое звенья, вершины и длина ломаной?

2. Объясните, какая ломаная называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, периметр и диагонали многоугольника?

3. Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.

4. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.

5. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

6. Начертите четырёхугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины.

7. Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника?

8. Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырёхугольником?

9. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

10. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

11. Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.

12. Какой четырёхугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?

13. Какая трапеция называется равнобедренной? прямоугольной?

14. Какой четырёхугольник называется прямоугольником? Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

15. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

16. Какой четырёхугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

17. Какой четырёхугольник называется квадратом? Перечислите основные свойства квадрата.

18. Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?

19. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

20. Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?

21. Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

22. Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.

Дополнительные задачи

424. Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.

425. Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

426. Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

427. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

428. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

429. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.

430. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.

431. Точка К — середина медианы AM треугольника АВС. Прямая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD = 1/2 AC

432. Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части.

433. Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла КВМ.

434. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

435. Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

436. Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите MN.

437. На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что АМ = АВ. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажите, что ВН = НМ = МС.

438. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠B АС = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, a ∠D = 60°.

439. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

440. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

441. Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

442. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

443. Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?

444. Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.

Ответы к задачам

    425. Пересекает сторону CD; 9см и 5см.

    426. 3см, 4см, 3см.

    428. Указание. Воспользоваться задачей 400.

    430. Указание. Воспользоваться теоремой о сумме углов выпуклого четырёхугольника и задачей 429.

    431. Указание. Через точку М провести прямую, параллельную ВК, и воспользоваться задачей 385.

    432. Указание. Воспользоваться задачей 385.

    433. Указание. Сначала доказать, что ΔBKD = ΔBMD.

    435. Указание. Воспользоваться задачей 384.

    436. 36,8см. Указание. Использовать диагональ BD.

    437. Указание. Сначала доказать, что ΔАВН = ΔАМН.

    438. 8см. Указание. Воспользоваться задачей 389, а.

    439. Указание. Через середину меньшего основания провести прямые, параллельные боковым сторонам, и воспользоваться задачей 404.

    440. Указание. Пусть EF — отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из вершины А треугольника АВС. Рассмотреть точку D, симметричную точке А относительно середины стороны ВС, и доказать, что ΔABD = ΔEAF.

    441. Указание. Воспользоваться задачей 420.

    443. Бесконечное множество.

    444. Указание. Пусть а и b — взаимно перпендикулярные оси симметрии фигуры и О — точка их пересечения. Сначала доказать, что если точки М и М1 симметричны относительно прямой а, а М1 и М2 симметричны относительно прямой b, то М и М2 симметричны относительно точки О.

Рейтинг@Mail.ru