Читать онлайн
учебники на ANSEVIK.RU

>>> Перейти на полную версию сайта >>>

Учебник для 7—9 классов

Геометрия

       

§ 3. Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора. Она является важнейшей теоремой геометрии.

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 186, а). Докажем, что с2 = а2 + b2.


Рис. 186

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке 186,6. Площадь S этого квадрата равна (a + b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2ab и квадрата со стороной с, поэтому

Таким образом, (а + b)2 = 2аb + с2, откуда с2 = а2 + b2.

Теорема доказана.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифа- гора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашёл доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам — даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. С одним из них мы уже познакомились, ещё с одним познакомимся в следующей главе (задача 578). Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС АВ2 = АС2 + ВС2. Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник А1В1С1 с прямым Углом С1, у которого А1С1 = АС и В1С1 = ВС. По теореме Пифагора и, значит, . Но АС2 + ВС2 = АВ2 по условию теоремы. Следовательно, , откуда А1В1 = АВ.

Треугольники АВС и А1В1С1 равны по трём сторонам, поэтому ∠C = ∠C1, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана.

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным: 51 = 31 + 41. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17 и 7, 24, 25 (объясните почему).

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что катеты а, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами a = 2k • m • n, b = k(m2 - n2), c = k(m2 + n2), где k, m и n — любые натуральные числа, такие, что m > n.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на верёвке делали метки, делящие её на 12 равных частей, связывали концы верёвки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.

Формула Герона

Теорема

Площадь S треугольника со сторонами а, b, с выражается формулой , где — полупериметр треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник АВС, в котором AB = с, ВС = а, АС = b. В любом треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть А и В — острые углы треугольника АВС. Тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ. Введём обозначения: CH = h, АН = у, НВ = х (рис. 187). По теореме Пифагора a2 - x2 = h2 = b2 - y2, откуда у2 - х2 = b2 - а2, или (у - х) (у + х) = b2 - а2. Так как у + х = с, то .


Рис. 187

Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим:

Поэтому

Теорема доказана.

Выведенную нами формулу обычно называют формулой Герона, по имени древнегреческого математика Герона Александрийского, жившего предположительно в I в. н. э.

Задачи

483. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам а и b:

    а) а = 6, b = 8;
    б) а = 5, b = 6;
    в) а = 3/7, b = 4/7
    г) а = 8, b = 8√3.

484. В прямоугольном треугольнике а и b — катеты, с — гипотенуза. Найдите b, если:

    а) а = 12, с = 13;
    б) а = 7, с- 9;
    в) а — 12, с = 26;
    г) а = 2√3, с = 26;
    д) а = 36, с = 2√0.

485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.

486. В прямоугольнике ABCD найдите:

    а) AD, если АВ = 5, АС =13;
    б) ВС, если CD= 1,5, АС = 2,5;
    в) CD, если BD= 17, ВС= 15.

487. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.

488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.

489. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле где а — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2√2 дм.

490. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

491. По данным катетам а и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: а) а = 5, b = 12; б) а = 12, b = 16.

492. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.

493. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

494. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.

495. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10см, ВС = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C = ∠D) = 60°, АВ = ВС = 8 см; в) ∠C = ∠D) = 45°, АВ = 6 см, ВС = 9∠2 см.

496. Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне АВ, причём AD = BC. Найдите АС, если АВ = 3, a CD = ∠3.

497. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

498. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каждом случае ответ обоснуйте.

499. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см.

Ответы к задачам

    483. а) 10; б) √61; в) 5/7; г) 16.

    484. а) 5; б) 4√2; в) 4√3; г) 2; д) 2.

    485. .

    486. а) 12; б) 2; в) 8.

    487. 15 см.

    488. а) 3√3 см; б) см.

    489. а) см2; б) 0,36√3 см2; в) 2√3 дм2.

    490. а) 10 см и 48 см2; б) 6√3 см и 27√3 см2; в) 7√2 см и 49 см2.

    491. а) ; б) 9,6.

    492. 8 см, 9,6 см, 9,6 см.

    493. 13 см и 120 см2.

    494. 96 см2 и 16 см.

    495. а) 180 см2; б) 48√3 см2; в) 135 см2.

    496. √7.

    497. 5 см.

    498. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) да.

    499. а) 6,72 см; б) см.

Рейтинг@Mail.ru