Читать онлайн
учебники на ANSEVIK.RU

>>> Перейти на полную версию сайта >>>

Учебник для 7—9 классов

Геометрия

       

§ 1. Правильные многоугольники

Правильный многоугольник

Вы знаете, как измеряются отрезки и как измеряются площади многоугольников. Вам известны формулы, по которым можно вычислить площади треугольника и некоторых четырёхугольников. А как вычислить длину окружности и площадь круга, если известен их радиус? Ответ на этот вопрос вы найдёте в этой главе. Но сначала нам предстоит познакомиться с красивыми геометрическими фигурами — правильными многоугольниками, вывести для них важные формулы, а затем уже с их помощью мы получим формулы длины окружности и площади круга.


Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник и квадрат. На рисунке 306 изображены правильные пятиугольник, семиугольник и восьмиугольник.

Рис. 306

Выведем формулу для вычисления угла αn правильного n-угольника. Сумма всех углов такого n-угольника равна (n - 2) • 180°, причём все его углы равны, поэтому

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Напомним, что окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Теорема

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Пусть А1А2А3...Аn — правильный многоугольник, О — точка пересечения биссектрис углов А1 и А2 (рис. 307).

Рис. 307

Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1 = ОА2 = ... = ОАn. Так как ∠A1 = ∠A2, то ∠1 = ∠3, поэтому треугольник А1А2O равнобедренный: в нём ОА1 = ОА2. Треугольники А1A2О и А2А3О равны по двум сторонам и углу между ними (A1A2 = А3А2, А2O — общая сторона и ∠3 = ∠4), следовательно, ОА3 = ОА1. Точно так же можно доказать, что ОА4 = ОА2, ОА5 = ОА3 и т. д.

Итак, ОА1 = ОА2 = ... = ОАn, т. е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом OA1 является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А1, А2, А3. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A1A2A3...An можно описать только одну окружность. Теорема доказана.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Напомним, что окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Теорема

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Пусть А2...Аn — правильный многоугольник, О — центр описанной окружности (рис. 308). В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что ΔОА1А2 = ΔОА2А3 = ... = ΔОАnА1, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также будут равны: ОН1 = ОН2 =... = ОНn. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки H1, Н2, ..., Нn и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.

Рис. 308

Докажем теперь, что вписанная окружность только одна.

Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН1 есть и другая окружность, вписанная в многоугольник А1А2...Аn. Тогда её центр О1 равноудалён от сторон многоугольника, т. е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОН1. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.

Следствие 1

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Пусть S — площадь правильного n-угольника, аn — его сторона, Р — периметр, а r и R — радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем сначала, что

Соединим центр данного многоугольника с его вершинами (см. рис. 308). Тогда многоугольник разобьётся на n равных треугольников, площадь каждого из которых будет равна Следовательно,

Выведем далее формулы:

Для вывода этих формул воспользуемся рисунком 308. В прямоугольном треугольнике А1Н1О

Следовательно,

Полагая в формуле (2) n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

Построение правильных многоугольников

Рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Построения правильного треугольника и правильного четырёхугольника, т. е. квадрата, рассматривались ранее. Для построения правильных п-угольников при n > 4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.

Задача 1

Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой (4). Пусть PQ — данный отрезок. Построим окружность радиуса PQ и отметим на ней произвольную точку А1 (рис. 309). Затем, не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2, А3, А4, А5, А6 так, чтобы выполнялись равенства А1А2 = А2А3 = А3А4 = А4А5 = А5А6. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А1А2А3А4А5А6.

Рис. 309

Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача:

Задача 2

Дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник.

Решение

Пусть A1A2...An — данный правильный n-угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведём окружность с центром О радиуса ОА1 (см. рис. 307).

Для решения задачи достаточно разделить дуги А1А2, А2А3, ..., AnA1 пополам и каждую из точек деления В1, В2, .... Вn соединить отрезками с концами соответствующей дуги (рис. 310, на этом рисунке n = 6). Для построения точек В1, В2, ..., Вn можно воспользоваться серединными перпендикулярами к сторонам данного n-угольника. На рисунке 310 таким способом построен правильный двенадцатиугольник A1B2А2B2... A6B6.

Рис. 310

Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырёхугольник, т. е. квадрат, и пользуясь результатом задачи 2, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2k-угольник, где k — любое целое число, большее двух.

Замечание

Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, однако, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Любопытно, что с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.

Задачи

1078. Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.

1079. Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте.

1080. Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом.

1081. Найдите углы правильного n-угольника, если: а) n = 3; б) n = 5; в) n = 6; г) n = 10; д) n = 18.

1082 Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?

1083. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°?

1084. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°?

1085. Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

1086. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.

1087. На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а4 — сторона квадрата, Р — периметр квадрата, S — его площадь, г — радиус вписанной окружности).

Рис. 311

1088. На рисунке 311,6 изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а3 — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

1089. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

1090. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

1091. Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.

1092. Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.

1093. Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R = 2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1094. Найдите площадь S правильного га-угольника, если: а) n = 4, R = 3√2 см; б) n = 3, Р = 24см; в) n = 6, r = 9см; г) n = 8, r = 5√3 см.

1095. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.

1096. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.

1098. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.

1099. Правильный восьмиугольник A1A2...A8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник А3А4А7А8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R.

1100. С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.

Ответы к задачам

    1078. а) Да; б) нет.

    1079. б), в).

    1081. а) 60°; б) 108°; в) 120°; г) 144°; д) 160°.

    1082. 360°. 1083. а) 3; б) 4; в) 8; г) 12.

    1084. а) 6; б) 12; в) 4; г) 10; д) 20; е) 5.

    1085. Указание. Воспользоваться тем, что серединный перпендикуляр к любой стороне правильного многоугольника проходит через центр описанной окружности.

    1086. Указание. Воспользоваться тем, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности.

    1087.
    1) R=3√2, r = 3, Р = 24, S = 36;
    2) R = 2√2, а4 = 4, Р = 16, S = 16;
    3) r = 2√2, а4 = 4√2, Р = 16√2, S = 32;
    4) R = 3,5√2, r = 3,5, а4 = 7, S = 49;
    5) R = 2√2, r = 2, а4 = 4, Р = 16.

    1088.
    1) r = 1,5, а3 = 3√3, Р = 9√3,
    2)
    3) R = 4, а3 = 4√3, Р = 12√3, S = 12√3;
    4)
    5), а3 = 2, S = √3.

    1089. 2√6 см.

    1090. 2√3 см.

    1091. 6 см.

    1092. 32√3 см.

    1094. a) 36 см2; 6) 16√3 см2; в) 162√3 см2; r) ≈ 248,52 см2.

    1095.

    1096. S3 : S4 : S6 = √3 : 4 : 6√3.

    1097. 3 : 4.

    1098. a) 2√3r, 6√3r, 3√3r2; б) √3R, 3√3R,

    1099. √2R2.

    1100. в), г) Указание. Воспользоваться задачей 2, п. 113.

Рейтинг@Mail.ru