Читать онлайн
учебники на ANSEVIK.RU

>>> Перейти на полную версию сайта >>>

Учебник для 7—9 классов

Геометрия

       

§ 6. Перпендикулярные прямые

Смежные и вертикальные углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

На рисунке 40 углы АОВ и ВОС смежные. Так как лучи О А и ОС образуют развёрнутый угол, то

∠AOB + ∠BOC = ∠AOC = 180°.


Рис. 40

Таким образом, сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке 41 углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 — вертикальные.


Рис. 41

Угол 2 является смежным как с углом 1, так и с углом 3. По свойству смежных углов ∠1 + ∠2 = 180° и ∠S + ∠2 - 180°. Отсюда получаем: ∠1 = 180° - ∠2, ∠3 = 180° - ∠2. Таким образом, градусные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда следует, что и сами углы равны.

Итак, вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые

Рассмотрим две пересекающиеся прямые (рис. 42). Они образуют четыре неразвёрнутых угла. Если один из них прямой (угол 1), то остальные углы также прямые (объясните почему).


Рис. 42

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC⊥BD (читается: «Прямая АС перпендикулярна к прямой BD»).

Отметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (рис. 43, а).


Рис. 43

В самом деле, рассмотрим прямые АА1 и ВВ1, перпендикулярные к прямой PQ (рис. 43, б). Мысленно перегнём рисунок по прямой PQ так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч РА1. Аналогично, луч QB наложится на луч QB1.

Поэтому, если предположить, что прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М, то эта точка наложится на некоторую точку М1, также лежащую на этих прямых (рис. 43, в), и мы получим, что через точки М и М1 проходят две прямые: А А1 и ВВ1. Но это невозможно.

Следовательно, наше предположение неверно и, значит, прямые АА1 и ВВ1 не пересекаются.

Для проведения перпендикулярных прямых используют чертёжный угольник и линейку (рис. 44).


Рис. 44

Построение прямых углов на местности

Для построения прямых углов на местности применяют специальные приборы, простейшим из которых является экер.

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике (рис. 45). На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.


Рис. 45

Чтобы построить на местности прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче.

Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (прямая ОВ на рисунке 45). Получается прямой угол АОВ.

В геодезии для построения прямых углов используют более совершенные приборы, например теодолит.

Практические задания

54. Начертите острый угол АОВ и на продолжении луча ОВ отметьте точку D. Сравните углы АОВ и AOD.

55. Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них начертите смежный угол.

56. Начертите неразвёрнутый угол hk. Постройте угол h1k1 так, чтобы углы hk и h1k1 были вертикальными.

57. Начертите неразвёрнутый угол MON и отметьте точку Р внутри угла и точку Q — вне его. С помощью чертёжного угольника и линейки через точки Р и Q проведите прямые, перпендикулярные к прямым ОМ и ON.

Задачи

58. Найдите угол, смежный с углом АВС, если:

    a) ∠ABC = 111°; б) ∠ABC=90°; в) ∠ABC = 15°.

59. Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, тупым) является другой угол?

60. Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?

61. Найдите смежные углы hk и kl, если:

    а) ∠hk меньше ∠kl на 40°;
    б) ∠hk больше ∠kl на 120°;
    в) ∠hk больше ∠kl на 47°18';
    г) ∠hk = 3∠kl;
    д) ∠hk : ∠kl = 5 : 4.

62. На рисунке 46 углы BOD и COD равны. Найдите угол AOD, если ∠COB = 148°.


Рис. 46

63. Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?

64. Найдите изображённые на рисунке 41 углы:

    а) 1, 3, 4, если ∠2 = 117°;
    б) 1, 2, 4, если ∠3 = 43°27'.

65. Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

    а) сумма двух из них равна 114°;
    б) сумма трёх углов равна 220°.

66. На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если:

а) ∠2 + ∠4 = 220°;
б) 3 (∠1 +∠3) = ∠2 + ∠4;
в) ∠2 - ∠1 = 30°.

67. На рисунке 47 изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Найдите сумму углов: ∠1 + ∠2 + ∠3.


Рис. 47

68. На рисунке 48 ∠AOB = 50°, ∠FOE = 70°. Найдите углы АОС, BOD, СОЕ и COD.


Рис. 48

69. Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и AQ быть перпендикулярными к прямой а?

70. Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.

Ответы к задачам

58. а) 69°; б) 90°; в) 165°.

59. Прямой.

60. Да.

61. а) 70° и 110°; б) 150° и 30°; в) 113°39' и 66°21'; г) 135° и 45°; д) 100° и 80°.

62. 106°.

63. Да.

64. a) ∠1 = ∠3 = 63°, ∠4 = 117°; б) ∠1 = 43°27', ∠2 = ∠4= 136°33'.

65. а) 57°, 57°, 123°, 123°; б) 40°, 40°, 140°, 140°.

66. a) ∠2 = ∠4 = 110°, ∠1 = ∠3 = 70°; б) ∠1 = ∠3 = 45°, ∠2 = ∠4 = 135°; в) ∠1 = ∠3 = 75°, ∠2 = ∠4=105°.

67. 180°.

68. ∠AOC= 120°, ∠BOD= 130°, ∠COE= 110°, ∠COD = 60°.

69. Нет.

Рейтинг@Mail.ru