Читать онлайн учебники
на ANSEVIK.RU

Учебник для 5 класса
/Виленкин/

Математика

       

11. Умножение натуральных чисел и его свойства

Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75. Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 • 3. Значит, 25 • 3 = 75. Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями.

Умножить число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m • n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n. Числа m и n называют множителями.

Произведения 7 • 4 и 4 • 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 46).

Рис. 46

  1. Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей.

    Это свойство умножения называют переместительным. С помощью букв его записывают так:

    а • Ь = Ь • а.

    Произведения (5 • 3) • 2 = 15 • 2 и 5 • (3 • 2) = 5 • 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 • (3 • 2) = (5 • 3) • 2 (рис. 47).

  2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

    Это свойство умножения называют сочетательным. С помощью букв его записывают так:

a • (b • с) = (а • b) • с.

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 • n = n.

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 • n = 0.

Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m - 1 = m и m • 0 = 0.

Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 • х пишут 8x, вместо a • b пишут ab.

Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 • (а + Ь) пишут 2(а + Ь), а вместо (х + 2) • (у + 3) пишут (х + 2)(у + 3). Вместо (ab)c пишут abc.

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

Вопросы для самопроверки

  • Что значит умножить одно натуральное число на другое?
  • Как называют числа, которые перемножают?
  • Как называют результат умножения?
  • Чему равно 1 • п? Чему равно 0 • n?
  • Сформулируйте переместительное свойство умножения. Запишите его с помощью букв.
  • Сформулируйте сочетательное свойство умножения. Запишите его с помощью букв.
  • В каких случаях можно опустить знак умножения?
  • Чему равно произведение m • 1?
  • Чему равно произведение m • 0?

Выполните упражнения

404. Представьте в виде произведения сумму:

  • a) 707 + 707 + 707;
  • б) 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50;
  • в) x + x + x + x + x + x.

405. Представьте в виде суммы произведение:

  • а) 712 • 3;
  • б) а • 6;
  • в) (х + у) • 4;
  • г) (k + m + 4) • 2.

Произведения можно прочитать, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:

  1. 175 • 60 — произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;
  2. 80 • (х + 17) — произведение восьмидесяти и суммы икс и семнадцати.

406. Вместо слов «представьте в виде произведения» говорят «разложите на множители».

Разложите всеми способами на два множителя число 12.

407. Сколько времени Борис решал 6 уравнений, если на каждое уравнение ему требовалось 2 мин 30 с?

408. Точка С лежит на отрезке АВ. Найдите длину отрезка АВ, если АС = 8 см, а длина отрезка СВ в 3 раза больше длины отрезка АС.

409. Отрезок АВ разбит на 17 отрезков, по 7 см каждый. Найдите длину отрезка АВ.

410. В двух ящиках лежат помидоры. Во втором ящике в 3 раза больше помидоров, чем в первом. Сколько помидоров в обоих ящиках, если в первом ящике 12 кг?

411. Серёжа старше своей сестры на 5 лет, но моложе отца в 3 раза. Сколько лет Серёже и сколько лет его отцу, если Серёжиной сестре 8 лет?

412. Найдите значение произведения:

  • а) 154 • 8;
  • б) 39 • 57;
  • в) 64 • 23;
  • г) 76 • 81;
  • д) 744 • 12;
  • е) 605 • 37;
  • ж) 814 • 372;
  • з) 207 • 305;
  • и) 3754 • 247;
  • к) 4606 • 709;
  • л) 2128 • 3355;
  • м) 2005 • 6004;
  • н) 37 • 100;
  • о) 208 • 10 000;
  • п) 5400 • 38 000;
  • р) 4030 • 1 200 000.

413. Найдите значение выражения

  • а) 305 + 305 + 305 + 305 + 73
  • б) 615 + 615 + 125 + 125 + 125;
  • в) 2011 + 402 + 402 + 402 + 402 + 402;
  • г) 58 + 58 + 58 + 58 + 58 + 720 + 720.

414. Вместо звёздочек поставьте пропущенные цифры:

415. Выполните действия, применив сочетательное свойство умножения:

  • а) 50 • (2 • 764);
  • б) (111 • 2) • 35;
  • в) 125 • (4 • 80);
  • г) (402 • 125) • 8.

416. Вычислите, выбрав удобный порядок действий:

  • а) 483 • 2 • 5;
  • б) 4 • 5 • 333;
  • в) 25 • 86 • 4;
  • г) 250 • 3 • 40.

417. В магазин привезли 5 ящиков с красками. В каждом ящике 144 коробки, а в каждой коробке 12 тюбиков с красками. Сколько тюбиков привезли в магазин? Решите задачу двумя способами.

418. Столяр и его помощник должны сделать 217 рам. Столяр в день делает 18 рам, а его помощник — 13. Сколько рам им останется сделать после двух дней работы? четырёх дней работы? семи дней работы?

419. Для покраски двери требуется 800 г белил, а для покраски окна на 200 г меньше. Сколько белил потребуется, чтобы покрасить 3 окна и 4 двери?

420. Составьте выражение для решения задачи:

  • а) Построили 5 коттеджей по 80 м2 жилой площади и 2 коттеджа по 140 м2. Какова жилая площадь всех этих коттеджей?
  • б) Масса контейнера с четырьмя книжными шкафами 3 ц. Какова масса пустого контейнера, если масса одного шкафа 58 кг?

421. Привезли 12 ящиков яблок, по 30 кг в каждом, и 8 ящиков груш, по 40 кг в каждом. Какой смысл имеют следующие выражения:

  • а) 30 • 12;
  • б) 12 - 8;
  • в) 40 • 8;
  • г) 40 - 30;
  • д) 30 • 12 + 40 • 8;
  • е) 30 • 12 - 40 • 8?

422. Выполните действия:

  • а) (527 - 393) • 8;
  • б) 38 • 65 - 36 • 63;
  • в) 127 • 15 + 138 • 32;
  • г) 54 • 23 • 35;
  • д) (247 - 189) • (69 + 127);
  • е) (1203 + 2837 - 1981) • 21.

423. Запишите произведение:

  • а) 8 и х;
  • б) 12 + а и 16;
  • в) 25 - m и 28 + л;
  • г) а + b и m.

424. Укажите множители в произведении:

  • а) 3m;
  • б) 6(х + р);
  • в) 4аb;
  • г) (х - у) • 14;
  • д) (m + n)(k - 3);
  • е) 5k(m + а).

425. Запишите выражение:

  • а) произведение m и n;
  • б) утроенная сумма а и b;
  • в) сумма произведений чисел 6 и х и чисел 8 и у;
  • г) произведение разности чисел а и b и числа с.

426. Прочитайте выражение:

  • а) а • (с + d);
  • б) (4 - а) • 8;
  • в) 3(m + n);
  • г) 2(m - n);
  • д) ab + с;
  • е) m - cd.

427. Найдите значение выражения:

  • а) 8а + 250 при а = 12; 15;
  • б) 14(b + 12) при b = 13; 18.

428. Велосипедист ехал а ч со скоростью 12 км/ч и 2 ч со скоростью 8 км/ч. Сколько километров проехал велосипедист за это время? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при а = 1; 2; 4.

429. Составьте выражение по условию задачи:

  • а) Из 6 книжных полок составлен шкаф. Высота каждой полки х см. Найдите высоту шкафа. Найдите значение выражения при х = 28; 33.
  • б) За один рейс автомашина МАЗ-25 перевозит 25 т груза. Сколько груза она перевезёт за k рейсов? Найдите значение выражения при k = 10; 5; 0.

430. Цена одного волейбольного мяча х р., а баскетбольного мяча у р. Что означают выражения: Зх; 4у; 5х + 2у; 15х - 2у; 4(х + у)?

431. Составьте задачу по выражению:

  • а) (80 + 60) -7;
  • б) (65 - 40) • 4;
  • в) 28 • 4 + 35 • 5;
  • г) 96 • 5 - 82 • 3.

432. На вершину холма ведут пять тропинок. Сколько существует способов подняться на холм и спуститься с него, если подниматься и спускаться по разным тропинкам?

433. Какое из произведений больше: 67 • 2 или 67 • 3? Объясните, почему это так. Объясните, почему 190 • 8 < 195 • 12. Сделайте вывод.

434. Не выполняя умножения, расставьте в порядке возрастания произведения:

56 • 24; 56 • 49; 13 • 24; 13 • 11; 74 • 49; 7 • 11.

435. Докажите, что:

  • а) 20 • 30 < 23 • 35 < 30 • 40;
  • б) 600 • 800 < 645 • 871 < 700 • 900;
  • в) 1200 < 36 • 42 < 2000;
  • г) 45 000 < 94 • 563 < 60 000.

436. Вычислите устно:

437. Какое число пропущено?

438. Восстановите цепочку вычислений:

439. Угадайте корни уравнения:

  • а) х + х = 64;
  • б) 58 + у + у + у = 58;
  • в) а + 2 = а - 1.

440. Придумайте задачу, которая решалась бы с помощью уравнения:

  • а) х + 15 = 45;
  • б) у - 12 = 18.

441. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из нечётных цифр, если цифры в записи числа не повторяются?

442. Среди чисел 1, 0, 5, 11, 9 найдите корни уравнения:

  • а) х + 19 = 30;
  • б) 27 - х = 27 + х;
  • в) 30 + х = 32 - х;
  • г) 10 + х + 2 = 15 + х - 3.

443. Назовите несколько свойств луча. Какие из этих свойств есть у прямой?

444. Придумайте способ, с помощью которого можно быстро и просто вычислить значение выражения:

39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + ... + 11 - 9 + 7- 5 + 3 - 1.

445. Решите уравнение:

  • а) 127 + у = 357 - 85;
  • б) 125 + у - 85 = 65;
  • в) 144 - у - 54 = 37;
  • г) 52 + у + 87 = 159.

446. При каком значении буквы верно равенство:

  • а) 34 + а = 34;
  • б) 6 +18=18;
  • в) 75 - с = 75;
  • г) 58 - d = 0;
  • д) m + 0 = 0;
  • ж) k - k = 0;
  • з) I + I = 0?
  • е) 0 - п = 0;

447. Решите задачу:

  • а) В корзине несколько грибов. После того как из неё вынули 10 грибов, а затем в неё положили 14 грибов, в ней стало 85 грибов. Сколько грибов было в корзине первоначально?
  • б) У мальчика было 16 почтовых марок. Он купил ещё несколько марок, после этого подарил младшему брату 23 марки, и у него осталось 19 марок. Сколько марок купил мальчик?

448. Упростите выражение:

  1. (138 + m) - 95;
  2. (198 + n) - 36;
  3. (х - 39) + 65;
  4. (у - 56) + 114.

449. Найдите значение выражения:

  1. 7480 - 6480 : 120 + 80;
  2. 1110 + 6890 : 130 - 130.

450. Найдите значение выражения:

  • а) 704 + 704 + 704 + 704;
  • б) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.

451. Представьте в виде суммы произведение:

  • а) 24 • 4;
  • б) k • 8;
  • в) (х + у) • 4;
  • г) (2а - b) • 5.

452. В магазин привезли 250 коробок, в каждой коробке по 54 пачки печенья. Какова масса всего печенья, если масса одной пачки 150 г?

453. В треугольнике ABC сторона АВ равна 27 см, и она больше стороны ВС в 3 раза. Найдите длину стороны АС, если периметр треугольника ABC равен 61 см.

454. Один станок-автомат производит 12 деталей в минуту, а другой — 15 таких же деталей. Сколько всего деталей будет изготовлено за 20 мин работы первого станка и 15 мин работы второго станка?

455. Выполните умножение:

  • а) 56 • 24; в) 235 • 48;
  • б) 37 • 85; г) 37 • 129;
  • д) 203 • 504;
  • е) 210 • 3500;
  • ж) 2103 • 7214;
  • з) 5008 • 3020.

456. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч?

457. От деревни до города велосипедист ехал 4 ч со скоростью 12 км/ч. Сколько времени он потратит на обратный путь по той же дороге, если увеличит скорость на 4 км/ч?

458. Придумайте задачу по выражению:

  • а) 120 + 65 • 2;
  • б) 168 - 43 • 2;
  • в) 15 • 4 + 12 • 4.

459. Сравните, не вычисляя, произведения (ответ запишите с помощью знака <):

  • а) 245 • 611 и 391 • 782;
  • б) 8976 • 1240 и 6394 • 906.

460. Запишите в порядке возрастания произведения:

172 • 191; 85 • 91; 85 • 104; 36 • 91; 36 • 75; 172 • 104.

461. Вычислите:

  • а) (18 384 + 19 847) • (384 - 201 - 183);
  • б) (2839 - 939) • (577 : 577).

462. Решите уравнение;

  • а) (х + 27) - 12 = 42;
  • б) 115 - (35 + у) = 39;
  • в) z - 35 - 64 = 16;
  • г) 28 - t + 35 = 53.

463. Сосчитайте, сколько четвёрок и сколько пятёрок на рисунке 48, но только по особому правилу — считать нужно подряд и четверки, и пятерки: «Первая четвёрка, первая пятёрка, вторая четвёрка, третья четвёрка, вторая пятёрка и т. д.». Если сразу не удастся сосчитать, возвращайтесь к этому заданию ещё и ещё раз.

Рис. 48

Рейтинг@Mail.ru