Читать онлайн учебники
на ANSEVIK.RU

Учебник для 5 класса
/Виленкин/

Математика

       

16. Степень числа. Квадрат и куб числа

Мы знаем, что сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, можно записать короче — в виде произведения. Например, вместо З + З + З + З + З пишут 3 • 5. В этом произведении число 5 показывает, сколько слагаемых было в сумме.

Произведение, в котором все множители равны друг другу, тоже записывают короче: вместо 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 пишут 26. Запись 26 читают «два в шестой степени». В этой записи число 2 называют основанием степени, 2 число 6, которое показывает, сколько множителей было в произведении, — 2 показателем степени, а выражение 26 называют степенью.

Пример 1. Запишем произведения в виде степени и найдём их значения:

3 • 3 • 3 • 3 = З4 = 81;
5 • 5 • 5 = 53 = 125;
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 26 = 64.

Вторую степень числа часто называют иначе. Произведение 3 • 3 называют квадратом числа 3 и обозначают З2.

Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n2 (читают: «эн в квадрате»). Итак, n2 = n • n. Например, 172 = 17 • 17 = 289.

Таблица квадратов первых 10 натуральных чисел имеет следующий вид:

Третья степень числа также имеет и иное название. Произведение 4 • 4 • 4 называют кубом числа 4 и обозначают 43.

Произведение n • n • n называют кубом числа n и обозначают n3 (читают: «эн в кубе»).

Итак, n3 = n • n • n.

Например, 83 = 8 • 8 • 8 = 64 • 8 = 512.

Таблица кубов первых 10 натуральных чисел имеет вид:

Первую степень числа считают равной самому числу:

71 = 7, 161 = 16, 11 = 1.

Показатель степени 1 обычно не пишут.

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вы числяют до выполнения остальных действий.

Пример 2. Найдём значение выражения (4 + З)2 • 52 - 83 + 26. Решение.

(4 + З)2 • 52 - 83 + 26 = 72 • 25 - 512 + 64 =
= 49 • 25 - 512 + 64 = 1225 - 512 + 64 = 777.

Вопросы для самопроверки

  • Что такое квадрат числа?
  • Что такое куб числа?
  • Назовите основание и показатель степени: 67, 123, 410, 152, 81.

Выполните упражнения

652. Составьте таблицу квадратов чисел от 11 до 20.

653. Представьте в виде степени произведение:

  • а) 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6;
  • б) 25 • 25 • 25 • 25 • 25;
  • в) 73 • 73;
  • г) 11 • 11 • 11 • 11;
  • д) 9 • 9 • 9;
  • е) m • m • m • m • m • m;
  • ж) х • х • х;
  • з) у • у • у • у • у • у • у • у;
  • и) k • k;
  • к) n • n • n • n • n;
  • л) (х + 1)(х + 1)(х + 1);
  • м) (7 - n)(7 - n).

654. Представьте в виде произведения степень:

  • а) 75;
  • б) 124;
  • в) 153;
  • г) 10002;
  • д) 607;
  • е) n9;
  • ж) k3;
  • з) а8;
  • и) х2;
  • к) (т + 2)4;
  • л) (а - 7)2;
  • м) (х + у)3.

655. Найдите значения: 252; 1002; 103; 113; 123; 153.

656. Найдите значения степеней: 25; 106; 120; З4; 411; 44.

657. Найдите значение выражения:

  • а) З2 • 18;
  • б) 5 + 42;
  • в) (5 + 4)2;
  • г) 52 + 42;
  • д) 7 + 43;
  • е) 73 + 4;
  • ж) (7 + 4)3;
  • з) (73 - 43) : (7 - 4);
  • и) 52 • 23;
  • к) 25 + З4;
  • л) (30 : З)5 - 1003;
  • м) (102 - 26) : 6 + 110.

658. Пользуясь таблицами квадратов и кубов чисел, найдите значение п, если:

121 = n2; n2 = 196; n2 = 10 000; 125 = n3, n3 = 512.

659. Вычислите устно:

660. Угадайте корни уравнения:

  • а) х • х = 25;
  • б) у • у = 81;
  • в) а • а = 1;
  • г) b • b • b = 0.

661. Какие цифры заменены звёздочками?

Подумайте, какие уравнения пришлось решать для нахождения неизвестных цифр.

662. Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения:

  • а) 160 + 37 - 20;
  • 6) 90 - 60 : 15;
  • в) 80 - 15 + 25?

Если возможно, укажите другой порядок действий, приводящий к тому же результату.

663. Составьте выражение по следующей программе:

  1. Разделить 58 344 на 429.
  2. 215 умножить на 48.
  3. Сложить результаты команд 1 и 2.

Найдите значение получившегося выражения.

664. Составьте схему вычисления выражения:

(39 • 71 + 25 • 95) - (248 : 4 - 176 : 11).

665. Решите задачу:

  1. Сумма двух чисел 549. Одно из них в 8 раз больше другого. Найдите эти числа.
  2. Сумма двух чисел 378. Одно из них в 8 раз меньше другого. Найдите эти числа.
  3. Разность двух чисел 342. Одно из них в 7 раз меньше другого. Найдите эти числа.
  4. Разность двух чисел 516. Одно из них в 7 раз больше другого. Найдите эти числа.

666. Найдите значения: 182; 53; 132; 203; 402; 303.

667. Найдите значения: 24; З3; 105; 112; 1004; 206.

668. Найдите значение выражения:

  • а) 92 + 19;
  • б) 172 - 209;
  • в) 63 : 3;
  • г) 23 • З2;
  • д) (15 - 7)2 : 23;
  • е) (17 - 16)8 + 25;
  • ж) 106 - 204;
  • з) З4 • 104;
  • и) 54 : 52.

669. Из Москвы и Ростова-на-Дону одновременно вышли навстречу друг другу два поезда. Поезд из Москвы шёл со скоростью 65 км/ч, а поезд из Ростова-на-Дону — со скоростью на 7 км/ч меньшей. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 6 ч после начала движения, если расстояние между Москвой и Ростовом-на-Дону 1230 км?

670. С двух станций, расстояние между которыми 720 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда 75 км/ч, а скорость второго на 10 км/ч больше. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 4 ч?

671. Составьте программу вычислений для нахождения значения выражения

67 392 : (3504 - 3408) + 19 232 : 601

и изобразите её схемой. Найдите значение выражения.

672. Выполните действия:

14 • (3600 • 18 - 239 200 : 46).

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Выдающийся российский математик академик Андрей Николаевич Колмогоров решил много сложнейших задач, совершил не одно открытие в различных разделах современной математики. Радость своих первых математических «открытий» он познал рано. Андрей Николаевич рассказывал, что ещё до поступления в гимназию в возрасте пяти-шести лет он любил придумывать задачи, подмечал интересные свойства чисел. Эти «открытия» публиковались в домашнем журнале. Вот одно из «открытий» шестилетнего Колмогорова. Он заметил, что

12 = 1, 22 = 1 + 3, З2 = 1 +3 + 5, 42 = 1 + 3 + 5 + 7.

673. Попробуйте рассказать, что это за свойство. Проверьте, выполняется ли оно для квадратов нескольких следующих чисел.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Первые единицы длины как в России, так и в других странах были связаны с размерами частей тела человека. Таковы сажень, локоть, пядь, в Англии и США до сих пор используется «ступня» — фут (31 см), «большой палец» — дюйм (25 мм) и даже ярд (91 см) — единица длины, появившаяся почти 900 лет назад. Она была равна расстоянию от кончика носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки.

Для измерения больших расстояний на Руси использовали единицу по́прище, заменённую позже версто́й (в разных местностях версту считали по-разному — от 500 до 750 сажен).

От восточных купцов пошла единица аршин (тоже означает «локоть») — существовали турецкий аршин, персидский аршин и др. Поэтому и возникла поговорка «мерить на свой аршин».

Множество единиц существовало и для измерения массы, наиболее древняя русская мера — гривна, или гривенка (около 410 г). Позднее появились золотники, фунты, пуды.

В связи с развитием торговли назрела необходимость установить чёткие определения единиц и соотношения между ними. При Петре I меры были приведены в определённую систему:

1 верста = 500 саженям (1 км 67 м);
1 сажень = 3 аршинам (213 см);
1 аршин = 16 вершкам = 28 дюймам (71 см);
1 фут = 12 дюймам (30 см 5 мм);
1 пуд = 40 фунтам (гривенкам) (16 кг 400 г);
1 фунт = 96 золотникам (410 г).

Рейтинг@Mail.ru