Читать онлайн учебники
на ANSEVIK.RU

Учебник для 5 класса
/Виленкин/

Математика

       

21. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда

Если наполнять формочку влажным песком, а потом переворачивать и снимать её, получатся фигуры, имеющие одинаковый объём (рис. 83). Если формочку наполнять водой, то объём воды будет равен объёму каждой фигуры из песка.

Рис. 83

Чтобы сравнить объёмы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить её во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объёмы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объём больше объёма второго сосуда. А если заполнить водой второй сосуд не удастся, то объём первого сосуда меньше объёма второго.

Для измерения объёмов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм3), кубический сантиметр (см3), кубический дециметр (дм3), кубический метр (м3), кубический километр (км3).

Например: кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см (рис. 84).

Рис. 84

Кубический дециметр называют также литром.

1 л = 1 дм3

Фигура на рисунке 85 состоит из 4 кубиков с ребром 1 см. Значит, её объём равен 4 см3.

Рис. 85

Выведем правило для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Пусть прямоугольный параллелепипед имеет длину 4 см, ширину 3 см и высоту 2 см (рис. 86, а). Разобьём его на два слоя толщиной 1 см (рис. 86, б). Каждый из этих слоёв состоит из 3 столбиков длиной 4 см (рис. 86, в), а каждый столбик — из 4 кубиков с ребром 1 см. (рис. 86, г). Значит, объём каждого столбика равен 4 см3, каждого слоя — 4 • 3 ( см3), а всего прямоугольного параллелепипеда — (4 • 3) • 2, то есть 24 см3.

Рис. 86

Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда имеет вид

V = abc.

где V — объём; а, Ь, с — измерения.

Если ребро куба равно 4 см, то объём куба равен 4 • 4 • 4 = 43 (см3), то есть 64 см3.

Если ребро куба равно а, то объём V куба равен a • a • a = a3.

Значит, формула объёма куба имеет вид

V = а3.

Именно поэтому запись а3 называют кубом числа а.

Объём куба с ребром 1 м равен 1 м3. А так как 1 м = 10 дм, то 1 м3 = 103 дм3, то есть 1 м3 = 1000 дм3 = 1000 л.

Таким же образом находим, что

1 л = 1 дм3 = 1000 см3; 1 см3 = 1000 мм3;

1 км3 = 1 000 000 000 м3 (см. рисунок).

Вопросы для самопроверки

  • Фигура состоит из 19 кубиков со стороной 1 см каждый; чему равен объём этой фигуры?
  • Что такое кубический сантиметр; кубический метр?
  • Как ещё называют кубический дециметр?
  • Скольким кубическим сантиметрам равен 1 литр?
  • Скольким литрам равен кубический метр?
  • Сколько кубических метров в кубическом километре?
  • Напишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.
  • Что означает в этой формуле буква V; буквы а, Ь, с?
  • Напишите формулу объёма куба.

Выполните упражнения

819. Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры (рис. 87). Найдите объёмы и площади поверхностей этих фигур.

Рис. 87

820. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:

  • а) а = 6 см, b = 10 см, с = 5 см;
  • б) а = 30 дм, b = 20 дм, с = 30 дм;
  • в) а = 8 дм, b = 6 м, с = 12 м;
  • г) a = 2 дм 1 см, b = 1 дм 7 см, с = 8 см;
  • д) а = 3 м, b = 2 дм, с = 15 см.

821. Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см2. Определите высоту этого параллелепипеда, если его объём равен 96 см3.

822. Объём комнаты равен 60 м3. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен.

823. Найдите объём куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см.

824. Найдите объём куба, если площадь его поверхности равна 96 см2.

825. Выразите:

  • а) в кубических сантиметрах: 5 дм3 635 см3; 2 дм3 80 см3;
  • б) в кубических дециметрах: 6 м3 580 дм3; 7 м3 15 дм3;
  • в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм3; 12 540 000 см3.

826. Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?

827. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

828. Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделён на две части. Найдите объём и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.

Рис. 88

829. Вычислите устно:

830. Восстановите цепочку вычислений:

831. Найдите значение выражения:

  • а) 23 + З2;
  • б) 33 + 52;
  • в) 43 + 6;
  • г) 103 - 10.

832. Сколько десятков получится в частном:

  • а) 1652 : 7;
  • б) 774 : 6;
  • в) 1632 : 12;
  • г) 2105 : 5?

833. Согласны ли вы с утверждением:

  • а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом;
  • б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом;
  • в) каждая грань куба — квадрат?

834. Четыре одинаковые бочки вмещают 26 вёдер воды. Сколько вёдер воды могут вместить 10 таких бочек?

835. Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье (с застёжкой)?

836. Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 89):

  • а) две грани, имеющие общее ребро;
  • б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани;
  • в) вертикальные рёбра.

Рис. 89

837. Решите задачу:

  1. Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого.
  2. Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго.

838. Выполните действия:

  1. 668 • (3076 + 5081);
  2. 783 • (66 161 - 65 752);
  3. 2 111 022 : (5960 - 5646);
  4. 2 045 639 : (6700 - 6279).

839. На Руси в старину использовались в качестве единиц измерения объёма ведро (около 12 л), штоф (десятая часть ведра), в США, Англии и других странах используются баррель (около 159 л), гяллон (около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы. Какие из них больше 1 м3?

840. Найдите объёмы фигур, изображённых на рисунке 90. Объём каждого кубика равен 1 см3.

Рис. 90

841. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда (рис. 91).

Рис. 91

842. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения — 48 дм, 16 дм и 12 дм.

843. Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м3 сена равна 6 ц.

844. Выразите в кубических дециметрах:

  • 2 м3 350 дм3;
  • 3 м3 7 дм3;
  • 4 м3 30 дм3;
  • 18 000 см3;
  • 210 000 см3.

845. Объём прямоугольного параллелепипеда 1248 см3. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда.

846. С помощью формулы V = abc вычислите:

  • а) V, если а - 3 дм, b = 4 дм, с = 5 дм;
  • б) а, если V = 2184 см3, b = 12 см, с = 13 см;
  • в) b, если V = 9200 см3, а = 23 см, с = 25 см;
  • г) аb, если V = 1088 дм3, с = 17 см.

Каков смысл произведения ab?

847. Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую — возраст отца — через b — возраст сына. Найдите по этой формуле:

  • а) а, если b = 10;
  • б) а, если b = 18;
  • в) b, если а = 48.

848. Найдите значение выражения:

  • а) 700 700 - 6054 • (47 923 - 47 884) - 65 548;
  • б) 66 509 + 141 400 : (39 839 - 39 739) + 1985;
  • в) (851 + 2331) : 74 - 34;
  • г) (14 084 : 28 - 23) • 27 - 12 060;
  • д) (102 + 112 + 122) : 73 + 895;
  • е) 2555 : (132 + 142) + 35.

849. Подсчитайте по таблице (рис. 92):

  • а) сколько раз встречается цифра 9;
  • б) сколько всего раз в таблице встречаются цифры 6 и 7 (не считая их по отдельности);
  • в) сколько всего раз встречаются цифры 5, 6 и 8 (не считая их по отдельности).

Рис. 92

Формулу V = abc можно читать разными способами.

  1. Если нужно напомнить правило, то говорят так: «Объём вэ прямоугольного параллелепипеда равен произведению а, бэ и цэ (трёх его измерений)».
  2. Если нужно только прочитать запись формулы, то говорят: «Вэ равно произведению а, бэ и цэ» или «вэ равно а, бэ, цэ». Названия единиц объёма читают полностью.

Например:

15 см3 — пятнадцать кубических сантиметров;

1 м3 = 1000 дм3 — один кубический метр равен одной тысяче кубических дециметров.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, применялись различные системы единиц для измерения длины, массы и других величин. Соотношения между мерами были сложны, существовали разные определения для единиц измерения.

Например, и до сих пор в Великобритании существуют две различные «тонны» (в 2000 и в 2940 фунтов), более 50 различных «бушелей» и т. п. Это затрудняло развитие науки, торговли между странами, поэтому назрела необходимость введения единой системы мер, удобной для всех стран, с простыми соотношениями между единицами.

Такая система — её назвали метрической системой мер — была разработана во Франции. Основную единицу длины, 1 метр (от греческого слова «метрон» — мера), определили как сорокамиллионную долю окружности Земли, основную единицу массы, 1 килограмм — как массу 1 дм3 чистой воды. Остальные единицы определялись через эти две, соотношения между единицами одной величины равнялись 10, 100, 1000 и т. д.

Метрическая система мер принята большинством стран мира, в России её введение началось с 1899 года. Большие заслуги во введении и распространении метрической системы мер в нашей стране принадлежат Дмитрию Ивановичу Менделееву, великому русскому химику.

Однако по традиции и в настоящее время иногда пользуются старыми единицами. моряки измеряют расстояния милями (1852 м) и кабельтовыми (десятая часть мили, то есть около 185 м), скорость — узлами (1 миля в час). Массу алмазов измеряют в каратах (200 мг, то есть пятая часть грамма — масса пшеничного зерна). Объём нефти измеряют в баррелях (159 л) и т. д.

Рейтинг@Mail.ru