Читать онлайн учебники
на ANSEVIK.RU

Учебник для 5 класса
/Виленкин/

Математика

       

38. Среднее арифметическое

Задача 1. Миша, Коля и Петя были в походе. Подойдя к лесу, они решили сделать привал. У Миши было 2 пирожка, у Пети — 4 и у Коли — 6. Все пирожки мальчики разделили поровну и съели.

Сколько пирожков съел каждый?

Решение. Всего у мальчиков было 2 + 4 + 6, то есть 12 пирожков. Каждому досталось по 12 : 3, то есть по 4 пирожка.

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Задача 2. Человек шёл 2 ч со скоростью 4,6 км/ч и 3 ч со скоростью 5,1 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен был идти, чтобы пройти то же расстояние за то же время?

Решение. Найдём всё расстояние, которое прошёл пешеход:

4,6 • 2 + 5,1 • 3 = 9,2 + 15,3 = 24,5 (км).

Разделим полученный результат на время, затраченное на этот путь: 24,5 : 5 = 4,9. Получим ответ: пешеход должен идти с постоянной скоростью 4,9 км/ч.

Такую скорость называют средней скоростью движения.

Этот же ответ можно получить, если найти среднее арифметическое скоростей за каждый час движения: (4,6 + 4,6 + 5,1 + 5,1 + 5,1) : 5 = 4,9.

Подобным образом находят среднюю урожайность, среднюю производительность и т. д.

Вопросы для самопроверки

  • Какое число называют средним арифметическим нескольких чисел?
  • Как найти среднее арифметическое нескольких чисел?
  • Как найти среднюю скорость движения?

Выполните упражнения

1496. Найдите среднее арифметическое чисел 2 и 10. Изобразите на координатном луче число 2, число 10 и их среднее арифметическое. Сделайте вывод.

1497. Найдите среднее арифметическое чисел:

  • а) 70,6 и 71,3;
  • б) 0,1; 0,2 и 0,3;
  • в) 1,11; 1,12; 1,19 и 1,48;
  • г) 7,381; 5,004; 6,118; 8,019; 7,815 и 5,863.

1498. На рисунке 153 АВ = ВС, где А(8,9) и B(9,5). Найдите координату точки С. Чему равно среднее арифметическое координат точек А и С?

Рис. 153

1499. Четыре поля имеют площадь по 200 га каждое. На первом поле собрали 7220 ц пшеницы, на втором — 7560 ц пшеницы, на третьем — 7090 ц пшеницы и на четвёртом — 7130 ц пшеницы. Определите урожайность пшеницы на каждом поле и найдите среднюю урожайность.

1500. С поля площадью 87 га сняли урожай 10450 ц картофеля, а с поля площадью 113 га собрали 14 980 ц картофеля. Найдите среднюю урожайность картофеля на этих полях.

1501. Найдите среднее арифметическое чисел 84,32; 84,47; 84,56 и 84,68 и округлите его до десятых.

1502. Участница соревнований по фигурному катанию на коньках получила оценки 5,3; 4,8; 5,4; 5,0; 5,3; 5,4; 5,3; 5,2; 5,1. Найдите среднюю оценку этой участницы.

1503. Автомобиль двигался 3,2 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем 1,5 ч по грунтовой дороге со скоростью 45 км/ч, наконец, 0,3 ч по просёлочной дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всём пути.

1504. Поезд шёл 4 ч со скоростью 70 км/ч и 3 ч со скоростью 84 км/ч. О Найдите среднюю скорость поезда на пройденном за это время пути.

1505. Среднее арифметическое двух чисел равно 3,1. Одно число равно 3,8. Найдите второе число.

1506. Среднее арифметическое шести чисел равно 3,5, а среднее арифметическое четырёх других чисел — 2,25. Найдите среднее арифметическое этих десяти чисел.

1507. На первом участке пути поезд шёл 2 ч со скоростью 60 км/ч, а на втором он шёл 3 ч. С какой скоростью шёл поезд на втором участке, если его средняя скорость на двух участках была равна 51 км/ч?

1508. Скорость катера по течению 18,6 км/ч, а против течения 14,2 км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость течения.

1509. Одно число больше другого в 1,5 раза, среднее арифметическое этих двух чисел равно 30. Найдите эти числа.

1510. Вычислите устно:

1511. Выполните деление:

  • а) 40: 0,4;
  • б) 0,8: 0,2;
  • в) 20 : 0,5;
  • г) 100 : 0,1;
  • д) 1000 : 0,01;
  • е) 6 : 0,3;
  • ж) 0,18 : 0,6;
  • з) 0,1:0,01;
  • и) 1 : 0,5.

1512. В летний лагерь детей отправляли на 6 одинаковых автобусах. В автобусах оказалось 29, 41, 28, 22, 27 и 33 человека. Можно ли было отъезжающих разместить в автобусах поровну?

1513. Вы знаете, что

Поэтому умножить число на 0,5 означает найти половину числа, умножить на 0,125 означает найти восьмую часть числа и т. д.

Подумайте, как проще найти значение выражения:

  • а) 400-0,1;
  • б) 20 • 0,2;
  • в) 84 • 0,25;
  • г) 16 • 0,125;
  • д) 68 • 0,5.

Запомните эту таблицу.

1514. Может ли произведение двух чисел оказаться меньше одного из множителей? Меньше обоих множителей? Может ли частное оказаться больше делимого? Приведите примеры.

1515. Мальчик решил определить длину моста через реку. Он заметил, что расстояние между двумя столбиками, на которых крепятся перила, равно двум шагам, а столбиков всего 30. Какова длина моста, если один шаг мальчика 0,4 м?

1516. Выполните деление:

  • а) 0,432 : 0,24;
  • б) 0,8625 : 0,375;
  • в) 1,872 : 2,34;
  • г) 0,481 : 0,037;
  • д) 41,48: 34;
  • е) 127,2 : 159.

1517. Решите уравнение:

  • а) 3,5x - 2,3x + 3,8 = 4,28;
  • б) 4,7у - (2,5у + 12,4) = 1,9;
  • в) (8,3 - k) • 4,7 = 5,64;
  • г) (9,2 - m) • 3,2 = 16.

1518. Школьная географическая площадка занимает 36 м2. Это составляет 0,1 всего пришкольного участка. Найдите площадь пришкольного участка.

1519. В 12 ч скорый поезд догнал пассажирский, а в 18 ч был уже впереди его на 120 км. Какое расстояние между поездами было в 10 ч, если скорость пассажирского поезда 70 км/ч? Какое данное в условии задачи лишнее?

1520. Длина стороны основания пирамиды Хеопса 230 м. Туристы, осматривая пирамиду, идут со скоростью 0,32 м/с. Успеют ли туристы за час обойти вокруг пирамиды?

1521. Заполните таблицу:

1522. Вычислите:

  1. (7 - 5,38) • 2,5;
  2. (8 - 6,46) • 1,5.

1523. В двоичной системе счисления при записи числа используют всего две цифры: 0 и 1. Число «один» записывается, как обычно, 1, но число «два» составляет уже единицу второго разряда и поэтому записывается так: 102 «одна двойка и нуль единиц» (цифра 2, находящаяся внизу в конце записи числа, означает, что число записано в двоичной системе). Число «три» изображается: 112 «одна двойка и одна единица». Число «четыре» представляет собой единицу следующего, третьего разряда и поэтому записывается так: 1002 «одна четвёрка, нуль двоек и нуль единиц». Таким образом, если в записи числа цифру 1 передвинуть влево на один разряд, то её значение увеличивается вдвое (а не в десять раз, как в нашей десятичной системе). Сравните представление числа, запись которого состоит из четырёх цифр 1, в виде суммы разрядных единиц в десятичной и двоичной системах:

Попробуйте записать в десятичной системе счисления числа, которые в двоичной системе пишутся так: 102; 1002; 1012; 1102; 11102.

Запишите в двоичной системе все натуральные числа от 1 до 15 включительно.

Подумайте, почему двоичная система широко используется в вычислительной технике, но она неудобна в повседневной практике.

1524. Найдите среднее арифметическое чисел:

  • а) 32,15; 31,28; 29,16; 34,54 и округлите ответ до сотых;
  • б) 3,234; 3,452; 4,185; 2,892 и округлите ответ до тысячных.

1525. Измерьте длину десяти своих шагов и найдите среднюю длину шага.

1526. Автомашина шла 3 ч со скоростью 53,5 км/ч, 2 ч со скоростью 62,3 км/ч и 4 ч со скоростью 48,2 км/ч. Найдите среднюю скорость дви-жения автомашины на всём пути.

1527. Турист шёл 3,8 ч со скоростью 1,2 м/с, а затем 2,2 ч со скоростью 0,9 м/с. Какова средняя скорость движения туриста на всём пути?

1528. Среднее арифметическое двух чисел 4,6. Одно число 5,4. Найдите другое число.

1529. Среднее арифметическое двух чисел 4,4. Найдите эти числа, если одно из них на 1,4 больше другого.

1530. Среднее арифметическое трёх чисел 6. Найдите эти числа, если первое число в 2,5 раза больше, а второе в 1,5 раза больше третьего.

1531. За 7 ч тракторист вспахал 4,9 га. С какой скоростью двигался трактор, если ширина полосы, вспахиваемая плугами, равна 1,75 м?

1532. Для приготовления салата из зелёного лука берут 150 г зелёного лука и 30 г сметаны. Сколько сметаны потребуется повару, чтобы приготовить салат из 27 кг зелёного лука?

1533. Каждый год растительный мир даёт 117 млрд т прироста массы. Каждые 3 т этой массы дают столько же энергии, сколько 1 т нефти. Сколько тонн нефти может заменить прирост массы растений за 4 года?

1534. Найдите значение выражения:

  • а) 3,4x + 5,7x + 6,6x - 4,7x при x = 3,6; 0,8; 10;
  • б) 3,8m - (2,8m + 0,7m) при m = 2,4; 8,57;
  • в) 16,75у - (4,75у + 10,8) при у = 0,9; 3,01.

1535. Выполните действия:

  • а) 42,165 - 22,165 : (0,61 + 3,42);
  • б) 243,08 + 256,32 : (28 - 25,5).

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Первыми «вычислительными устройствами», которыми пользовались в древности люди, были пальцы рук и камешки. Позднее появились бирки с зарубками и верёвки с узелками.

Рис. 154

В Древнем Египте и Древней Греции задолго до нашей эры использовали абак — доску с полосками, по которым передвигались камешки. Это было первое устройство, специально предназначенное для вычиспений. Со временем абак совершенствовали — в римском абаке (рис. 154) камешки или шарики передвигались по желобкам (от римлян к нам перешло слово «калькуляция», означающее буквально «счёт камешками»); в китайских счётах «суан-пан» (рис. 155, а) и японских «соробан» (рис. 155, б) шарики были нанизаны на прутики. Абак просуществовал до XVII века, когда его заменили письменные вычисления. Русский абак — счёты (рис. 155, в) появились в XVI веке, ими пользуются и в наши дни. Большое преимущество русских счётов в том, что они основаны на десятичной системе счисления, а не на пятеричной, как все остальные абаки.

Рис. 155

Первый арифмометр, выполнявший все четыре арифметических действия, создал в 1673 году немецкий физик, изобретатель и математик Гбтфрид вильгёльм Лёйбниц. наиболее совершенный для того времени арифмометр изобрёл в 1878 году великий русский математик Пафнутий Львбвич Чебышев.

Создание миниатюрных ЭВМ — микрокалькуляторов — стало возможным после того, как были разработаны способы изготовления электронных схем, содержащих тысячи транзисторов и других элементов на пластинке размером с ноготь человека. С использованием микрокалькуляторов для вычислений мы познакомимся в следующем пункте учебника.

Рейтинг@Mail.ru