Читать онлайн учебники
на ANSEVIK.RU

Учебник для 5 класса
/Виленкин/

Математика

       

42. Измерение углов. Транспортир

Для измерения углов применяют транспортир (рис. 174).

Рис. 174

Шкала транспортира располагается на полуокружности. Центр этой полуокружности отмечен на транспортире чёрточкой.

Штрихи шкалы транспортира делят полуокружность на 180 долей.

Лучи, проведённые из центра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен доле развёрнутого угла.

Такие углы называют градусами. Градусом называют долю развёрнутого угла.

Градусы обозначают знаком °. Каждое деление шкалы транспортира равно 1°. Кроме делений по 1°, на транспортире есть ещё деления по 5° и по 10°.

Вершина О угла АОВ на рисунке 174 находится в центре полуокружности; луч ОА проходит через нулевую отметку (начало отсчёта), а луч ОВ проходит через отметку 110. Поэтому угол АОВ равен 110°.

Пишут: ∠АОВ = 110°.

Так как прямой угол составляет половину развёрнутого угла, то он содержит 180 : 2, то есть 90°. Прямой угол равен 90°.

Равные углы имеют равные градусные меры, больший угол имеет большую градусную меру, меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Транспортир применяют и для построения углов.

Пример. Построим угол 50°, одной стороной которого служит луч ОВ.

Решение. Наложим транспортир так, чтобы центр полуокружности совпал с точкой О — началом луча ОВ, а луч ОВ пошёл через начало отсчёта (рис. 175).

Рис. 175

Поставим точку А против штриха с отметкой 50 и проведём луч ОА. Получаем угол АОВ, содержащий 50°.

Такой же угол можно построить по другую сторону от луча ОB (рис. 176).

Рис. 176

Если угол меньше 90°, то его называют острым углом.

Если угол больше 90°, но меньше 180°, то его называют тупым углом.

На рисунке 177 угол АОС острый, а угол АОВ тупой.

Рис. 177

Вопросы для самопроверки

  • Для чего служит транспортир?
  • На сколько делений разделена шкала транспортира?
  • Что такое градус? Как его обозначают?
  • Сколько градусов содержит развёрнутый угол?
  • Сколько градусов содержит прямой угол?
  • Какой угол называют острым?
  • Какой угол называют тупым?
  • Расскажите, как измеряют углы транспортиром.

Выполните упражнения

1649. По рисунку 178 определите градусные меры углов:

Рис. 178

  • а) AKD, АКЕ, AKF;
  • б) BKF, ВКЕ, ВКС, BKD;
  • в) DKC, DKE, DKF, СКЕ, CKF и EKF.

1650. Начертите луч ОА. С помощью транспортира по одну сторону от луча ОА постройте: ∠АОВ = 45°, ∠AOC = 30°, ∠AOD = 135°, ∠AOE = 90°.

1651. Измерьте углы, изображённые на рисунке 179, и запишите результаты измерений.

Рис. 179

1652. Луч ОС лежит внутри угла АОВ, причём ∠AOC = 37°, ∠BOC = 19°. Чему равен угол АОВ?

∠A - ∠B = 8° — разность градусных мер углов А и В равна восьми градусам.

∠C + ∠D = 120° — сумма углов С и D равна ста двадцати градусам.

∠AOB > ∠COD — угол АОВ больше угла COD, или: — градусная мера угла АОВ больше градусной меры угла COD.

1653. Какую часть развёрнутого угла составляют углы в 30°; 45°; 60°? Какую долю прямого угла составляют углы в 30°; 15°; 60°; 75°?

1654. Сколько градусов содержит угол, если он составляет:

1655. Сколько градусов содержит угол, если он составляет:

  • а) 20% от 360°;
  • б) 25% от 60°;
  • в) 45% развёрнутого угла;
  • г) 80% прямого угла?

1656. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов:

  • а) в 3 ч;
  • б) в 5 ч;
  • в) в 10 ч;
  • г) в 11 ч;
  • д) в 2 ч 30 мин;
  • е) в 5 ч 30 мин?

1657. Постройте с помощью транспортира угол в 70° и проведите луч, который делит этот угол пополам.

Такой луч называется биссектрисой угла.

1658. С помощью транспортира проведите луч, который делит пополам прямой угол.

1659. Постройте угол АОВ в 120° и разделите его на 3 равных угла.

1660. Какие из углов острые и какие тупые, если ∠A = 67°; ∠B = 175°; ∠C = 92°; ∠D = 3°?

1661. С помощью чертёжного треугольника найдите на рисунке 180 острые, прямые и тупые углы. С помощью транспортира найдите их градусную меру.

Рис. 180

1662. Начертите круг радиусом 3 см. Обозначьте его центр буквой О. Проведите через точку О прямую АВ. С помощью транспортира разделите развёрнутые углы АОВ с обеих сторон прямой на 3 равных угла. На сколько равных частей разделился круг?

1663. Угол АОВ развёрнутый, а ОС — луч. Найдите градусные меры углов АОС и СОВ, если:

  • а) градусная мера угла АОС втрое больше, чем градусная мера угла СОВ;
  • б) градусная мера угла АОС на 60° больше градусной меры угла СОВ;
  • в) градусная мера угла АОС в 4 раза меньше, чем градусная мера угла СОВ.

1664. Внутри прямого угла АОВ проведён луч ОС. Найдите градусные меры углов АОС и СОВ, если:

  • а) угол АОС в 5 раз больше угла СОВ;
  • б) разность градусных мер углов СОВ и АОС равна 46°;
  • в) угол АОС в 4 раза меньше угла СОВ.

1665. Чему равна градусная мера каждого угла прямоугольника? Чему равна сумма этих градусных мер? Чему равна сумма градусных мер углов каждого из треугольников ABC и CDA (рис. 181)?

Рис. 181

1666. Измерьте каждый угол треугольника ACD, изображённого на рисунке 182. Найдите сумму градусных мер этих углов.

Рис. 182

1667. Начертите какой-нибудь треугольник и измерьте каждый его угол.

Проверьте, что сумма градусных мер углов треугольника равна 180°.

Запомните это свойство углов треугольника.

1668. В треугольнике один из углов равен 75°, а другой — 80°. Чему равен третий угол этого треугольника?

1669. В треугольнике ABC градусная мера угла АBС равна 40°, а градусная мера угла САВ в 3 раза больше. Найдите градусную меру угла АСВ.

1670. Вычислите устно:

1671. Назовите каждый из углов, изображённых на рисунке 183, а и б. Найдите среди этих углов прямые и развёрнутые углы.

Рис. 183

1672. Найдите 5%, 15%, 25%, 45% числа 360. Попробуйте предложить разные способы решения этой задачи.

1673. 5% некоторого числа равны 11. Найдите 15%, 20%, 35%, 50%, 100% этого числа.

1674. В зале кинотеатра 600 зрителей.

  • а) Сколько человек составляют 1%, 5%, 10%, 40% всех зрителей?
  • б) Сколько процентов зрителей составляют 12 человек, 90 человек, 300 человек?

1675.

  • а) Число 60 увеличили на 15. На сколько процентов увеличилось число?
  • б) Число 75 уменьшили на 15. На сколько процентов уменьшилось число?
  • в) Некоторое число увеличили в 2 раза. На сколько процентов увеличилось число?
  • г) Некоторое число уменьшили в 2 раза. На сколько процентов уменьшилось число?

1676. Найдите пропущенные числа:

1677. Стреляя в тире, Дима в 76% случаев попал в мишень. Сколько промахов допустил Дима, если всего он произвёл 50 выстрелов?

1678. За три дня в магазине продано 1280 кг яблок. В первый день продали 25% всех яблок, а во второй день — 45% всех яблок. Сколько килограммов яблок продали в третий день? Решите задачу двумя способами. Какой из этих способов проще?

1679. Объясните смысл предложения:

  • а) «Из молока получается 25% сливок»;
  • б) «В свёкле содержится 20% сахара».

1680. При перегонке нефти получается 30% керосина. Сколько керосина можно получить из 12 т; из 28 т; из 36,5 т нефти?

1681. Решите задачу:

  1. Площадь поля 560 га. В первый день засеяли поля, а остальное — во второй день. Сколько гектаров засеяли во второй день?
  2. Площадь поля 450 га. Овсом засеяли поля, а пшеницей — остальную часть. Сколько гектаров засеяли пшеницей?

1682. Начертите два угла — в 60° и в 100° — с общей вершиной так, чтобы они имели общую сторону и лежали по разные стороны от неё. Найдите градусную меру угла, образованного двумя другими сторонами этих углов.

1683. Начертите произвольный четырёхугольник ABCD, измерьте транспортиром его углы и сложите результаты измерений.

1684. Начертите произвольный четырёхугольник ABCD и проведите прямые АС и BD. Измерьте транспортиром углы АОВ, ВОС, COD и DOA, где О — точка пересечения прямых АС и BD. Какие из этих углов имеют одинаковую градусную меру? Сумма градусных мер каких углов равна 180°?

1685. Найдите градусные меры углов треугольника MNK, если угол М меньше угла N на 40° и больше угла К на 10°.

1686. Найдите градусные меры углов треугольника CDE, если угол С вдвое больше угла D и втрое меньше угла Е.

1687. В механическом цехе установлено 400 станков. В первую смену работало 380 станков, а во вторую — 350 станков. Какой процент станков работал в первую смену и какой во вторую?

1688. Никелевая руда содержит 1,3% никеля. Сколько тонн никеля получится из 24 860 т руды? Сколько тонн этой руды надо переработать, чтобы добыть 2405 т никеля?

1689. Магнитный железняк содержит 70% чистого железа. Сколько тонн чистого железа содержится в 4,6 т магнитного железняка?

1690. Из чайного листа после сушки получается 4,2% чая. Сколько получится чая из 225 кг чайного листа?

1691. Привезли 500 т руды с содержанием меди 6,5% и 700 т руды с содержанием меди 4,5%. Из какой руды получится больше меди?

1692. С помощью микрокалькулятора найдите значение выражения:

  • а) 284,3 • 159,6 + 51 189,1 : 32,1 - 651,2 • 34,8;
  • б) 376,64 : 4,4 : 3,2 + 0,479 • 0,37 • 44,5.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Слово «градус» — латинское, означает «шаг», «ступень». Измерение углов е градусах появилось более 3 тыс. лет назад в Вавилоне, в расчётах там использовались шестидесятеричная система счисления, шестидесятеричные дроби.

По этой причине вавилонские математики и астрономы, а вслед за ними греческие и индийские, полный оборот (окружность) делили на 360 частей — градусов (шесть раз по шестьдесят), каждый градус — на 60 минут, а минуту — на 60 секунд:

1° = 60', 1' = 60".

В конце XVIII века при разработке метрической системы мер французские учёные предложили делить прямой угол не на 90, а на 100 частей. Такой угол в прямого угла называют «град»:

90° = 100 град.

В градах измеряют углы в геодезии, этой единицей пользуются в некоторых строительных расчётах, но широкого распространения она не получила.

Для точного измерения углов созданы различные инструменты. Основная часть этих приборов — шкала, похожая на шкалу транспортира.

Рейтинг@Mail.ru